Kad Eulera līnija ir paralēla trīsstūra malai?
When Is Euler Line Parallel With Triangles Side
Risinājums:
Attēlā redzams$ trīsstūris ABC $ar ortocentru$ P $, apkārtcentrs$ Q $un apkārtmērs$ r $. Attiecībā uz vienādmalu Eilera līniju nosaka pēc$ P $un$ Q $.
Lai Eilera līnija būtu paralēla malai$ overline {AB} $, attālumi no$ P $un$ Q $tai pusei jābūt vienādai. Vienkārša taisnstūra trīsstūra trigonometrija attēlā norāda attālumus, tāpēc mums ir
$$ 2 cos A cos B = cos C tag {1} $$
Paplašinās$ cos C = cos ( pi -A -B) = - cos (A + B) = - cos A cos B + sin A sin B $, mēs to redzam$ (1) $dot$$ 3 cos A cos B = sin A sin B tag {2} $$
Mēs “zinām”, ka paralēlisms nevar notikt, ja kāds leņķis ir pareizs; tāpēc mēs varam pieņemt, ka neviens kosinuss nepazūd. Sadalīšana pa$ cos A cos B $, tad mums ir šis nosacījums, lai Eulera līnija būtu paralēla$ overline {AB} $.
$$ tan A tan B = 3 tag {$ star $} $$
(Es joprojām meklēju labāko veidu, kā sasniegt$ ( zvaigzne) $tieši, bez algebriskām manipulācijām no$ (1) $.)
Lai pārbaudītu OP piemēru, mēs varam atkārtoti iezīmēt virsotnes un apsvērt leņķus$$ A = 45 ^ circ qquad B = 180 ^ circ-45 ^ circ- arctan 2 = 135 ^ circ- arctan 2 $$Tad$$ tan A = 1 qquad tan B = frac { tan 135 ^ circ- tan ( arctan 2)} {1+ tan 135 ^ circ tan ( arctan 2)} = frac {-1-2} {1 + (-2)} = 3 $ $un mēs to redzam$ ( zvaigzne) $tur.$ kvadrāt $
Šeit ir pieeja, kas sniedz lielāku gandarījumu nekā mans iepriekšējais mēģinājums.
Ļaujiet$ trīsstūris ABC $ir viduspunkti$ D $,$ E $,$ F $pretēji$ A $,$ B $,$ C $. Ļaujiet tai būt centrālam$ K $, apkārtcentrs$ P $un ortocentrs$ Q $. Ļaujiet$ G $būt pēdas perpendikulāram no$ C $, un ļaujiet$ M $būt par viduspunktu$ overline {CG} $.
Pieņemsim, ka Eilera līnija (cauri$ K $,$ P $,$ Q $) ir paralēla$ overline {AB} $. Tad, tā kā mēs 'zinām'$ K $trisects mediana$ overline {CF} $, mēs varam iegūt šādu attiecību ķēdi:
$$ begin {align} 3 & = fracCFKF = fracQM = frac trīsstūris CDE trīsstūris PDE = frac frac12PD = fracCD cdot frac \ [4pt] & = tan A tan B beigas {align} $$
Šeit mēs izmantojām faktu, ka$ leņķis DPE = 180 ^ ap- leņķis DCE $(lai sines atceltu). Arī pēc ierakstītā leņķa teorēmas,$ leņķis BPC = 2 leņķis A $, tā ka$ leņķis DPC = frac12 leņķis BPC = leņķis A $(un tāpat,$ leņķis EPC = leņķis B $).$ kvadrāt $
No šejienes mēs atrodam sakarību starp trīs malu nogāzēm$ p, q, r $un Eilera līnijai$ m $:$$ m =- frac {3+pq+pr+qr} {p+q+r+3pqr} $$Nezaudējot vispārību, nosaka divas trīsstūra virsotnes$ (0,0) $un(1,0) ASV dolāriattiecīgi ļaujot trešajai virsotnei mainīties kā$ (x, y) $. Tad sānu nogāzes ir$ 0 $,$ frac yx $un$ frac y {x-1} $, padodoties$$ m =- frac {y ^ 2 / (x (x-1)) + 3} {y / x + y / (x-1)} =- frac {y ^ 2 + 3x (x-1 )} {(2x-1) un} $$Lai Eilera līnija būtu paralēla malai, tai jābūt vienai no$ 0 $,$ frac yx $vai$ frac y {x-1} $.
Pirmais ģenerētais vienādojums definē elipsi ar malu attiecību$ sqrt3 $kura blakus ass ir viena no trijstūra malām. Pārējie divi vienādojumi ir kubikmetri:$$ 4g ^ 2 + 3 (2x-1) ^ 2 = 3 $$ $$ 3x ^ 2 (1-x) + y ^ 2 (1-3x) = 0 $$ $$ 3x (1-x) ^ 2 + y ^ 2 (3x-2) = 0 $$Lai trīsstūra Eilera līnija būtu paralēla vienai no tās malām, ir jābūt, ka pēc aprakstītās transformācijas trešā punkta koordinātas atbilst vienam no iepriekšminētajiem trim vienādojumiem. Tas ir, ja divi zemāk atzīmētie punkti ir trīsstūra virsotnes, trešajai virsotnei jāatrodas uz zilajām līknēm.
Pēdējie divi vienādojumi ir saistīti ar karti$ x mapsto1-x $.
Dotajam trīsstūrim trešais punkts tiek pārveidots par$ pa kreisi ( frac13, frac23 pa labi) $, kas apmierina trešo vienādojumu.
Stāvokļa leņķiskā forma,$ tan P tan Q = 3 $, var vieglāk iegūt no Eilera līnijas slīpuma formulas. Ļaujiet$ P $un$ Q $būt uz$ x $-aksi, tad dod slīpuma formulu$ m =- frac {3+pq} {p+q} $un šis ir$ 0 $ja Eilera līnija ir paralēla$ PQ $, padodoties$ pq = -3 $. Tagad$ p = pm tan Q $un$ q = mp tan P $, zīmes atkarībā no relatīvā stāvokļa, bet vienmēr pretējas, tātad$ tan P tan Q = 3 $
Vēl vienu leņķiskās formas atvasinājumu var panākt, izmantojot baricentriskās koordinātas$ A: B: C $. Līnija, kas paralēla$ BC $būs nemainīga pirmā baricentriskā koordināta, un centroidam vienmēr ir koordinātas$ frac13: frac13: frac13 $, tātad Eulera līnija ir paralēla$ BC $iff ortocentram, kuram ir baricentriskā koordināta koeficienti $ tan A: tan B: tan C $, normalizējas tā, lai būtu pirmā baricentriskā koordināta$ frac13 $. Tas notiek, kad$ 2 tan A = tan B + tan C $, un leņķiskā forma rodas no rakstīšanas$ A $ziņā$ B $un$ C $un vienkāršojot:$$ 2 tan ( pi- (B+C)) =-2 tan (B+C) = frac {-2 ( tan B+ tan C)} {1- tan B tan C} = tan B+ tan C $$ $$ frac {-2} {1- tan B tan C} = 1 $$ $$ - 2 = 1- tan B tan C $$ $$ tan B tan C = 3 $ $